Venäjänvinttikoira on yksi mukavimmista lemmikeistä: ne "eivät puhu paljon", eivätkä seuraa omistajiaan saadakseen osansa huomiosta. Vapautettuna metsästyksestä ja kävelystä venäläinen vinttikoira viettää aikansa mieluummin passiivisesti, lepäämällä sohvalla tai käpertyen omistajan jalkoihin. Rotu ei myöskään kykene kaikenlaisiin ikäviin yllätyksiin, kuten revittyihin tapetteihin ja puhkaistuihin kenkiin, edellyttäen tietenkin, että koiraa ulkoilutetaan säännöllisesti.

Venäjänvinttikoira ei ole erityisen lapsiystävällinen, mutta se ei myöskään suhtaudu lapsiin kovin vihamielisesti. Eniten sitä ärsyttävät äkilliset huudot ja nauru, joten meluavien lapsiseurojen saapuessa omistajan asuntoon koira pyrkii pääsääntöisesti vetäytymään. Rauhallisen luonteensa ja synnynnäisen herkkyytensä vuoksi nämä vinttikoirat ovat kohtalaisen kohteliaita viestinnässä, myös vieraiden kanssa, mutta vaativat vastineeksi täsmälleen samanlaista asennetta itseään kohtaan. Koska rodun koirilla on hyvin herkkä psyyke, ne havaitsevat erittäin kivuliaasti kaikki vääryydet, joten rangaistus tälle rodulle on todellinen tragedia.